Valeur moyenne d'une fonction

Définition

Soit \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(a.   Soit \(f\)  une fonction continue sur \([a~;~b]\) .
La valeur moyenne de \(f\) sur \([a~;~b]\)  est le réel  \(\boxed{\mu =\dfrac{1}{b-a}\displaystyle \int_a^b f(x)\text d x}\) .

Remarque  Interprétation graphique dans le cas où \(f\) est positive

Par définition de \(\mu\) , on a  \((b-a)\mu=\displaystyle \int_a^b f(x)\ \text d x\) .
On suppose que \(f\) est positive.
Donc \(\displaystyle \int_a^b f(x)\ \text d x\) est l'aire sous la courbe représentative de \(f\) entre \(a\) et \(b\) , en unité d'aire, dans un repère orthogonal.
Cette aire est donc égale à celle du rectangle dont les dimensions sont \((b −a)\)  et \(\mu\) . Cette aire est aussi celle sous la courbe, entre \(a\) et \(b\) , de la fonction constante égale à \(\mu\) .